2010年四川省成都市七中外地生招生考试数学试卷

发布时间:2021-09-20 13:28:22

2010 年四川省成都市七中外地生招生考试数学试 卷

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2010 年四川省成都市七中外地生招生考试数学试 卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1.若不等式组 A.5<a<6 B.5≤a<6 的正整数解有 3 个,那么 a 必须满足( C.5<a≤6 D.5≤a≤6 ) )

2.如图所示的三视图所对应的几何体体积为(

A.10.5 B.11

C.11.5 D.12

3.图中,最外面是第 1 个等边三角形,边长为 1,记周长为 l1,然后以中心为顶点构造第 2 个等边三角形,使其底 边与第 1 个等边三角形底边重合,记其周长为 l2;若继续构造下去,则第 n 个等边三角形的周长 ln 为( )

A.

B.

C.

D.

4.若分式方程 A.1 B.2 或﹣2

有增根,则它的增根是( C.﹣2 D.2



5.△ ABC 和△ AEF 均为等腰直角三角形,其初始位置如图所示,若△ AEF 绕 A 点顺时针旋转,则 BE 与 CF 大小关系 为( )

A.BE>CF B.BE=CF

C.BE<CF D.无法确定

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www.jyeoo.com 6.圆 O 的半径为 A.5 B. ,E、F 分别为弦 AB 和 CD 的中点,且 AB⊥ CD,若 AB=4,CD=2 C. D. ,则 EF 的长为( )

7.梯形 ABCD,AD∥ BC,∠ B=90°,CD>AD+BC,以 CD 为直径的圆与直线 AB 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 8.如图中共有等腰直角三角形( )个.



A.14

B.15

C.16

D.17

9.现用红、黄、蓝、黑四种颜色为右图中 a、b、c、d 四个区域涂色,要求相邻区域颜色不同,且红与黑两种颜色 不相邻,若区域 a 已被涂成红色,则区域 c 被涂成红色的概率为( )

A.

B.

C.

D.

10.如图所示,点列 A:A0,A1,A2,…和点列 B:B0,B1,B2,…位于以 A0,和 B0 为端点的两条射线上,且满 足 A0A1=A1A2=…= 和 B0B1=B1B2=…= ,现将两条射线重合(端点一致) ,合并点列 A、B 形成新的点列 C:C0, C1,C2,…(若点列 A、B 中有两个点重合,则视为点列 C 中的一个点,如 C0,称其为重合点) ,记 l1=C0C1= , l2=C1C2= ﹣ ,…,由此构成数列 L,以下四个命题: ① 点列 C 至少有两个重合点; ② 数列 L 中存在相同的数; ③ 数列 L 中数的大小满足:0<li≤ ④ 数列 L 中数的一般形式为 l=mi 其中的真命题是( ) (i=1,2,…) ; +ni (i=1,2,…) ,且满足 mi,ni 为整数,|mi+ni|≤1.

A.① B.③ C.② D.① ④ ④ ③ ② 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分) 11.函数 y=﹣x+3 与 的图象交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则 S△ABO= _________ .

12. 如图, 梯形 ABCD 两条对角线交于 E, 上取一点 F, CD 使得 EF∥ 若 AD=1, BC, BC=2, 则

=

_________ .

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13.已知,y=(

﹣1)x,则

的值为 _________ .

14.设 x1,x2 是方程 x ﹣2mx+m ﹣2m+3=0 的两个根,若

2

2

,则 m=

_________ .

15.如图,在*行四边形 ABCD 中,∠ BAD、∠ ADC 的角*分线与 BC 分别交于 E、F 点,若 AB=4,BC=7,则 EF= _________ .

16.如右图,△ ABC 的外接圆 O 半径为 3,AB=2

,AD 为 BC 边上的高,则 cos∠ DAC=

_________ .

17.方程组

的解是 _________ .

18.两个两位数写在一起形成了一个四位数,若这个数恰等于原来两位数乘积的整倍数,则该四位数是 _________ . 三、解答题(本大题共 2 小题,第 19 题 18 分,第 20 题 24 分,共 42 分) 19.如图,以△ ABC 的 BC 边为直径作圆 O,分别交 AC、AB 于 E、F 两点,过 A 作圆 O 的切线,切点为 D,并且 点 E、F 为劣弧 的三等分点,求∠ CAD 的大小.

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20.如图,等腰梯形 ABCD 的 BC 边位于 x 轴上,A 点位于 y 轴上,∠ ABC=45°,BD *分 AO(O 为坐标原点) , 并且 B(﹣1,0) . (1)求过点 A、B、C 的抛物线的解析式; (2)P 为(1)中抛物线上异于 B 的一点,过 B、P 两点的直线将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分,求 P 点的坐 标; (3)在(1)中抛物线上是否存在点 Q 使△ ABQ 为直角三角形?若存在,求△ ABQ 的面积;若不存在,则说明理由.

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2010 年四川省成都市七中外地生招生考试数学试 卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1.若不等式组 的正整数解有 3 个,那么 a 必须满足( )

A.5<a<6 B.5≤a<6 C.5<a≤6 D.5≤a≤6 考点:一元一次不等式组的整数解。 分析:首先解得不等式组的解集,然后根据不等式组只有三个正整数解即可确定 a 的范围. 解答:解:解不等式 5≤2x﹣1≤11 得:3≤x≤6. 若不等式组有 3 个正整数解则不等式组的解集是:3≤x<a. 则正整数解是:3,4,5. ∴ 5<a≤6. 故选 C. 点评:此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解,根据 x 的取值范围,得出 x 的整数解,然后代入 方程即可解出 a 的值.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小 小解不了. 2.如图所示的三视图所对应的几何体体积为( )

A.10.5 B.11 C.11.5 D.12 考点:由三视图判断几何体。 分析:几何体是一个长方体和一个三棱柱组成,长方体的长宽高分别是 3,3,1,三棱柱的底面是一个直角三角形, 直角边分别是 1,3,三棱柱的高是 1,求出几何体的体积. 解答:解:由三视图知几何体是一个长方体和一个三棱柱组成, 长方体的长宽高分别是 3,3,1, ∴ 长方体的体积是 3×3×1=9; 三棱柱的底面是一个直角三角形,直角边分别是 1,3,三棱柱的高是 1, ∴ 三棱柱的体积是 ×1×3×1=1.5. ∴ 几何体的体积是 9+1.5=10.5. 故选 A. 点评:本题考查由三视图还原几何体,并且求几何体的体积,本题解题的关键是看出各个部分的长度,不要弄错数 据而丢分.
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www.jyeoo.com 3.图中,最外面是第 1 个等边三角形,边长为 1,记周长为 l1,然后以中心为顶点构造第 2 个等边三角形,使其底 边与第 1 个等边三角形底边重合,记其周长为 l2;若继续构造下去,则第 n 个等边三角形的周长 ln 为( )

A.

B.

C.

D.

考点:等边三角形的性质。 专题:规律型。 分析:通过观察及根据等边三角形的性质可得出规律:每个等边三角形的周长都是前一个等边三角形周长的 ,据 此求解. 解答:解:由已知得:第 1 个等边三角形的周长为:1+1+1=3= 第 2 个等边三角形的周长为: + + =1= 第 3 个等边三角形的周长为: + + = = …, 所以第 n 个等边三角形的周长 ln 为: . , , ,

故选:B. 点评:此题考查的知识点是等边三角形的性质及规律问题.关键是通过等边三角形找出规律解答.

4.若分式方程

有增根,则它的增根是(



A.1 B.2 或﹣2 C.﹣2 D.2 考点:分式方程的增根。 专题:计算题。 分析:让最简公分母为 0 可得分式方程可能的增根,进而代入得到的整式方程,舍去不合题意的解即可. 2 解答:解:由题意得 x ﹣4=0, 解得 x=2 或﹣2, 原方程化为整式方程为 3=(x﹣1+m) (x﹣2) 当 x=2 时,右边为 0,所以不能是 2, 当 x=﹣2 时,左边可能等于右边, 故选 C. 点评:考查分式方程增根的相关知识;用到的知识点为:分式方程的增根是分式方程化为整式方程后,产生的使原 分式方程的分母为 0 的根.注意本题需检验不适合原方程的增根. 5.△ ABC 和△ AEF 均为等腰直角三角形,其初始位置如图所示,若△ AEF 绕 A 点顺时针旋转,则 BE 与 CF 大小关系 为( )

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A.BE>CF B.BE=CF C.BE<CF D.无法确定 考点:全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形。 分析:连接 BE、CF,证明△ BAE≌CAF 即可得到结论. △ 解答:解:连接 BE、CF ∵ABC 和△ △ AEF 均为等腰直角三角形, ∴ BA=BC,∠ BAC=∠ FAE,AF=AE, ∴BAE≌CAF, △ △ ∴ BE=CF. 故选 B.

点评:本题考查了全等三角形的证明,属于基础题,比较简单. 6.圆 O 的半径为 ,E、F 分别为弦 AB 和 CD 的中点,且 AB⊥ CD,若 AB=4,CD=2 ,则 EF 的长为( ) A.5 B. C. D. 考点:垂径定理;勾股定理。 专题:计算题。 分析:先画草图,连接 OE,OF,OB,OC,设 AB 与 CD 相交于点 M,可得出四边形 OEMF 是矩形,再由勾股定 理求得 OE,OF,即可得出 EF. 解答:解:连接 OE,OF,OB,OC, 设 AB 与 CD 相交于点 M, ∵ E、F 分别为弦 AB 和 CD 的中点,且 AB⊥ CD, ∴ 四边形 OEMF 是矩形, ∵ AB=4,CD=2 , ∴ AE=BE=2,CF=DF= , 2 2 2 ∴ =( ) ﹣2 =2, OE 2 2 2 OF =( ) ﹣( ) =3, ∴ Rt△ 在 OEF 中,EF= 故选 D. = = .

点评:本题考查了垂径定理、勾股定理以及矩形的判定,是基础知识要熟练掌握. 7.梯形 ABCD,AD∥ BC,∠ B=90°,CD>AD+BC,以 CD 为直径的圆与直线 AB 的位置关系是(
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www.jyeoo.com A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 考点:直线与圆的位置关系。 专题:计算题。 分析:设 CD 中点为 O,作 OF⊥ 于 F,比较出 OF 和半径的关系即可. AB 解答:解:如图:设 CD 中点为 O,作 OF⊥ 于 F, AB ∵ OF= (AD+BC) (梯形中位线定理) 又∵ CD>AD+BC ∴ OF= (AD+BC)< CD. 故⊙ 与 AB 相交. O 故选 C.

点评:本题考查了直线和圆的位置关系,利用中位线定理比较出 AB 到圆心的距离与半径的关系是解题的关键. 8.如图中共有等腰直角三角形( )个.

A.14 B.15 C.16 D.17 考点:等腰直角三角形。 分析:利用等腰直角三角形的性质及勾股定理的逆定理,先判断等腰直角三角形,再求其全等即可. 解答:解:如图所示,等腰直角三角形有: 如△ ADF 中,AD +DF =AF , 则△ ADF 为等腰直角三角形. 同理:易得共有 17 个等腰直角三角形. 故选 B.
2 2 2

点评:本题考查了等腰三角形的性质及判定定理,熟练掌握等腰三角形的性质及判定定理,能够求解三角形的全等 问题是解此题的关键. 9.现用红、黄、蓝、黑四种颜色为右图中 a、b、c、d 四个区域涂色,要求相邻区域颜色不同,且红与黑两种颜色 不相邻,若区域 a 已被涂成红色,则区域 c 被涂成红色的概率为( )

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www.jyeoo.com A. B. C. D.

考点:列表法与树状图法。 分析:根据红与黑两种颜色不相邻,区域 a 已被涂成红色,得出 b,d 不可能是红色,也不可能是黑色,那么 c 可 以是红色或黑色,分别分析得出可能的颜色即可. 解答:解:本题是一个分类问题, ∵ 红与黑两种颜色不相邻,区域 a 已被涂成红色,得出 b,d 不可能是红色,也不可能是黑色,那么 c 可以是红色或 黑色,或蓝色或黄色, 所有的可能是:b 为蓝色,d 为蓝色,c 为红色; b 为蓝色,d 为黄色,c 为红色; b 为黄色,d 为黄色,c 为红色; b 为黄色,d 为蓝色,c 为红色; 一共有 4 种可能, b 为蓝色,d 为蓝色,c 为黑色或 c 为黄色; b 为蓝色,d 为黄色,c 为黑色; b 为黄色,d 为黄色,c 为黑色或蓝色; b 为黄色,d 为蓝色,c 为黑色;一共有 6 种可能, ∴ 所有结果为 10 种结果,c 涂成红色的一共有 4 种, ∴ 区域 c 被涂成红色的概率为: = .

故选:A. 点评:此题考查了分类计数原理,对于复杂一点的计数问题,有时分类以后,每类方法并不都是一步完成的,必须 在分类后又分步,综合利用两个原理解决. 10.如图所示,点列 A:A0,A1,A2,…和点列 B:B0,B1,B2,…位于以 A0,和 B0 为端点的两条射线上,且满 足 A0A1=A1A2=…= 和 B0B1=B1B2=…= ,现将两条射线重合(端点一致) ,合并点列 A、B 形成新的点列 C:C0, C1,C2,…(若点列 A、B 中有两个点重合,则视为点列 C 中的一个点,如 C0,称其为重合点) ,记 l1=C0C1= , l2=C1C2= ﹣ ,…,由此构成数列 L,以下四个命题: ① 点列 C 至少有两个重合点; ② 数列 L 中存在相同的数; ③ 数列 L 中数的大小满足:0<li≤ (i=1,2,…) ; ④ 数列 L 中数的一般形式为 l=mi +ni (i=1,2,…) ,且满足 mi,ni 为整数,|mi+ni|≤1. 其中的真命题是( )

A.① B.③ C.② D.① ④ ④ ③ ② 考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。 分析:根据图中提供的点列求得由点列构成的数列 L,通过观察数列找到正确的答案即可. 解答:解:根据题意得: l1= , l2 ﹣ , L3=2 ﹣ , L4=2 ﹣2 , L5=3 ﹣2 , L6=3 ﹣2 ,
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www.jyeoo.com …, ∴ 数列 L 中只有一个重合点,故① 错误; 数列 L 中不存在相同的数,故② 错误; 观察数列可以发现数列 L 中数的大小满足:0<li≤ (i=1,2,…) ,故③ 正确; 数列 L 中数的一般形式为 l=mi +ni (i=1,2,…) ,且满足 mi,ni 为整数,|mi+ni|≤1,故④ 正确; 故选 B. 点评:本题考查了数字的变化类问题,解题的关键是仔细读题并从中整理出数列 L,通过观察发现其规律. 二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分) 11.函数 y=﹣x+3 与 的图象交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则 S△ABO= .

考点:反比例函数与一次函数的交点问题。 分析:根据函数 y=﹣x+3 与 的图象交于 A、B 两点,求出 A,B 两点坐标以及一次函数与坐标轴交点坐标,进

而求出 S△AOB=S△AOB﹣S△ACO﹣S△BOD 即可. 解答:解:∵ y=﹣x+3 与 ∴ ﹣x+3= , 整理得:x ﹣3x+2=0, (x﹣2) (x﹣1)=0, 解得:x1=1,x2=2, 当 x=1 时,y=2, x=2 时,y=1, ∴ A、B 两点坐标为: (1,2)(2,1) , , ∵ y=﹣x+3 的图象交 x 轴于点: (3,0) ,交 y 轴于点: (0,3) , ∴ △ACO= ×3×1= , S S△BOD= ×3×1= , ∴ △AOB=S△AOB﹣S△ACO﹣S△BOD= ×3×3﹣ ﹣ = . S 故答案为: .
2

的图象交于 A、B 两点,

点评:此题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用,根据已知得出 A,B 两点坐标以及求出 S△BOD,S△ACO 的面积是解题关键.

12.如图,梯形 ABCD 两条对角线交于 E,CD 上取一点 F,使得 EF∥ BC,若 AD=1,BC=2,则

=



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考点:相似三角形的判定与性质;梯形。 专题:几何综合题。 分析: 由已知梯形 ABCD 和 EF∥ 可得△ BC DEF∽DBC 及△ △ CEF∽CAD, △ 则 = , = , 那么得 + = =1,

又已知 AD=1,BC=2,从而求出 EF,再由△ CEF∽CAD 求得 △



再根据已知梯形 ABCD 和 EF∥ 得 S△ABD=S△CAD,S△EBF=S△CEF,从而求得 BC 解答:解:已知梯形 ABCD 和 EF∥ BC, ∴DEF∽DBC,△ △ △ CEF∽CAD, △ ∴ = 得 + , = = , =1,



又已知 AD=1,BC=2, ∴ +EF=1, ∴ EF= , ∵CEF∽CAD, △ △ ∴ 得 = = = ,

∵ 已知梯形 ABCD 和 EF∥ BC, ∴ S△ABD=S△CAD,S△EBF=S△CEF, 得 ∴ 得 = .

故答案为: . 点评:此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质及梯形的性质,关键通过已知及梯形的性质利用相似三角形通 过等量代换解得.

13.已知,y=(

﹣1)x,则

的值为



考点:分式的化简求值。 专题:计算题。 分析:先将分式的分子分母进行因式分解,再约分,将 y=(

﹣1)x,代入即可.

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www.jyeoo.com 解答:解:原式=

=

= ∵ y=( ∴ 原式=

, ﹣1)x, = = .

故答案为



点评:本题考查了分式的化简求值,是基础知识要熟练掌握.

14.设 x1,x2 是方程 x ﹣2mx+m ﹣2m+3=0 的两个根,若

2

2

,则 m=

3 .

考点:根与系数的关系。 分析:首先根据根与系数的关系推出两根之和、两根之积的值,然后通过对分式方程的化简,再代入两根之和、两 根之积的值,再解关于 m 的一元二次方程即可推出 m 的值. 2 2 解答:解:∵1,x2 是方程 x ﹣2mx+m ﹣2m+3=0 的两个根, x 2 ∴1+x2=2m,x1×x2=m ﹣2m+3, x ∵
2 2



∴1 +x2 =4x1x2, x 2 ∴ 1+x2) ﹣2x1x2=4x1x2, (x 2 2 ∴ =6m ﹣12m+18, 4m 解方程得:m=3. 故答案为 3. 点评:本题主要考查跟与系数的关系,解一元二次方程,关键在于推出关于 m 的一元二次方程,认真的进行计算. 15.如图,在*行四边形 ABCD 中,∠ BAD、∠ ADC 的角*分线与 BC 分别交于 E、F 点,若 AB=4,BC=7,则 EF= 1 .

考点:*行四边形的性质;*行线的性质;等腰三角形的判定与性质。 专题:计算题。 分析:由于*行四边形的两组对边互相*行,又 AE *分∠ BAD,由此可以推出所以∠ BAE=∠ AEB,则 BE=AB=4; 同理可得,CF=CD=4.而 EF=BE+CF﹣BC,由此可以求出 EF 长. 解答:解:∵ *分∠ AE BAD, ∴BAE=∠ ∠ DAE, 又∵ CB, AD∥
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www.jyeoo.com ∴AEB=∠ ∠ DAE, ∴BAE=∠ ∠ AEB, 则 BE=AB=4; 同理可得,CF=CD=4. ∴ EF=BE+CF﹣BC=BE+CF﹣AD=4+4﹣7=1. 故答案为:1. 点评:此题主要涉及的知识点:角*分线的定义、*行四边形的性质、*行线的性质,关键注意找出线段之间的关 系:EF=BE+CF﹣BC.

16.如右图,△ ABC 的外接圆 O 半径为 3,AB=2

,AD 为 BC 边上的高,则 cos∠ DAC=



考点:圆周角定理;锐角三角函数的定义。 分析:首先作直径 AE,连接 BE,根据圆周角定理,即可得∠ ABE=90°,∠ C,继而可证得∠ E=∠ BAE=∠ DAC,然后在 Rt△ ABE 中,利用三角函数的性质,即可求得答案. 解答:解:作直径 AE,连接 BE, ∴ABE=90°,∠ C, ∠ E=∠ ∵ 为 BC 边上的高, AD ∴ADC=90°, ∠ ∴ADC=∠ ∠ ABE, ∴BAE=∠ ∠ DAC, ∵ABC 的外接圆 O 半径为 3, △ ∴ AE=6, 在 Rt△ ABE 中,cos∠ BAE= ∴ DAC= cos∠ 故答案为: . . = = .

点评:此题考查了圆周角定理与三角函数的性质.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅 助线的作法.

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17.方程组

的解是



考点:高次方程。 分析:首先将三式变形,得到 xy+zx=3(x+y+z) ,xy+zy=4(x+y+z) ,zy+zx=5(x+y+z)再分别进行加减运算得出 2y=3x,2y=z,进而代入方程,即可得出 y 值,以及 x,z 的值. 解答:解:题中三个式子经过通分变形得: xy+zx=3(x+y+z) (1) xy+zy=4(x+y+z) (2) zy+zx=5(x+y+z) (3) 又由(2)﹣(1)得:x+y+z=zy﹣zx 代入(3)化简得:2y=3x (4) , 同理(3)﹣(2)得:x+y+z=zx﹣xy 代入 (1)化简得:2y=z (5) 所以:又由(4) (5)得: x= y; z=2y 代入题中第一个式子化简得:y= 所以 x= ,z=11, ,

所以



故答案为:



点评:此题主要考查了高次方程组的解法,根据已知将原式变形为 xy+zx=3(x+y+z) ,xy+zy=4(x+y+z) ,zy+zx=5 (x+y+z)利用代入消元法求出是解题关键. 18.两个两位数写在一起形成了一个四位数,若这个数恰等于原来两位数乘积的整倍数,则该四位数是 1734 . 考点:整数的十进制表示法。 分析:设这两个两位数数分别是 x 和 y,于是可得 1352 或

=n,其中 n 是自然数,可以判断,当 nx﹣1 是 100 的约

数时,y 才可能有整数解,然后验证整数 x 和 y 符合条件的值. 解答:解:设这两个两位数数分别是 x 和 y. =n,其中 n 是自然数. 则:y= ,

可以判断,当 nx﹣1 是 100 的约数时,y 才可能有整数解. 经验证,只有 x=13,n=2 和 x=17,n=3 时可以. 即 x=13,y=52 或者 17,y=34. 所以所求的四位数只有 1352 和 1734.
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www.jyeoo.com 验证:1352=13×52×2,1734=17×34×3. 故答案为:1352 或 1734. 点评:本题主要考查整数的十进制表示法的知识点,解答本题的关键是掌握整数的概念,此题难度不大. 三、解答题(本大题共 2 小题,第 19 题 18 分,第 20 题 24 分,共 42 分) 19.如图,以△ ABC 的 BC 边为直径作圆 O,分别交 AC、AB 于 E、F 两点,过 A 作圆 O 的切线,切点为 D,并且 点 E、F 为劣弧 的三等分点,求∠ CAD 的大小.

考点:切线的性质;全等三角形的判定与性质;圆周角定理。 分析:根据已知得出△ ABC 为等腰三角形,进而利用切割线定理求出 AD= ∠ ABC=∠ DAB=30°,∠ BAC=75°,得出答案. 解答:解:连接 BE、BD、DF、OD,设圆 O 半径为 r,EC 长为 l, ∵ 为弧 CF 的中点, E ∴ABE=∠ ∠ CBE, 又∵ CE, BE⊥ ∴ABC 为等腰三角形, △ 即 AB=AC=2r,AE=EC=l, ∵ E,F 为弧 CD 的三等分点, ∴ DF=EC=L, ∵ AD,AC 分别为⊙ 的切线和割线, O ∴ =AE?AC,即 AD= AD 又∵ADF∽ABD, △ △ ∴ = ,
2

l,从而得出 BD=

r,即可得出

l,

即 BD= r, 2 2 2 ∵ =DO +OB , BD ∴DBO=45°, ∠ ∵DBF=∠ ∠ FBE=∠ EBC, AB=AC, ∴ABC=∠ ∠ DAB=30°, ∠ BAC=75°, ∴CAD=105°. ∠

点评:此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的性质和圆周角定理,熟练利用切割线定理得出 AD= BD= r 是解题关键.

l,

20.如图,等腰梯形 ABCD 的 BC 边位于 x 轴上,A 点位于 y 轴上,∠ ABC=45°,BD *分 AO(O 为坐标原点) , 并且 B(﹣1,0) . (1)求过点 A、B、C 的抛物线的解析式;
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www.jyeoo.com (2)P 为(1)中抛物线上异于 B 的一点,过 B、P 两点的直线将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分,求 P 点的坐 标; (3)在(1)中抛物线上是否存在点 Q 使△ ABQ 为直角三角形?若存在,求△ ABQ 的面积;若不存在,则说明理由.

考点:二次函数综合题。 分析: (1)根据 B 点的坐标可以求出 OB 的长度,通过解直角三角形可以 AO 的长度而求出 A 点的坐标及 AB 的长 度,然后求出 AD 的长度根据解直角三角形求出 C 点的坐标,最后利用待定系数法求出抛物线的解析式. (2)如图根据条件中的面积关系求出△ BCE 的 BC 边上的高,即知道 E 点的总坐标,再 根据 C、D 的坐标求出 CD 的解析式, 利用 E 点的纵坐标求出 E 点的坐标, 再求出直线 BE 的解析式, 最后代入抛物线的解析式求出 P 点坐标. (3)如图分为两种情况使△ ABQ 为直角三角形,利用三角形的角的特殊关系 45°求出线段的长度,从而求出 Q 点的 坐标,根据 Q 点的坐标求出△ ABQ 的面积.BO,BD *分 解答:解: (1)∵ BO,BD *分 AO AD∥ ∴ AD=BO ∵ 等腰梯形 ABCD 的∠ ABC=45° ∴ OC=2OB,OA=OB 即 A(0,1) ,B(﹣1,0) ,C(2,0) 设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x﹣2) ,把 A(0,1)代入得,a=﹣ ∴ 抛物线的解析式为:y=﹣ + x+1;

(2)设直线 BP 交 CD 于 E(m,n) ,由题意知 2S△BEC=S 梯形 ABCD∴ 2× ∴ n= 用待定系数法求出直线 CD 的解析式为:y=﹣x+2 把 E 点的坐标代入 CD 的解析式得 m= ∴ E( , ) 用待定系数法求出 BE 的解析式为 y= x+ ,

=

与抛物线的解析式 y=﹣

+ x+1 建立方程组求得

∴ P(





(3)存在 ① BAQ=90°时,如图,AQ 与 x 轴交于 F,做 QH⊥ 轴于 H,设 Q(m,t) 当∠ x ∴ABF、△ △ QHF 都为等腰直角三角形

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www.jyeoo.com ∴ F(1,0) ,QH=FH,即﹣t=m﹣1,t=﹣ m + m+1,求得 m=3 ∴ QH=FH=2 ∴ AQ=AF+FQ=3 ∴ △ABQ= S + =3
2

② ABQ=90°时,作 QG⊥ 轴于 G,设 Q(a,b) 当∠ x ∴QGB 为等腰直角三角形 △ ∴ QG=BG,即﹣b=a+1 ∵ b=﹣ a + a+1, 解得 a=4, ∴ BG=5,BQ=5 ∴ △ABQ= S =5
2

综上所述,S△ABQ=3 或 5.

点评:本题考查了等腰梯形的性质,待定系数法求函数的解析式,二元一次方程与一次函数的关系,直线函数与抛 物线的交点坐标,三角形的面积的计算多个知识点.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有: zcx;gbl210;733599;bjy;zhqd;ZJX;马兴田;sjzx;lanchong;sd2011;zhxl;hdq123;caicl;HJJ;ZHAOJJ。 (排名不分先后) 菁优网 2012 年 6 月 2 日

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